Matemáticas

Día: sábado 11 de enero, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: FME (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Anton Aubanell, Jordi Font, Sergi Muria, Francisco Massich, Manel Martínez (Grupo Cúbico).

Idioma: catalán.

Esta sesión nos invitará a realizar un recorrido por diversas experiencias matemáticas que tienen en común el hecho de invitar a la acción a partir de materiales manipulables oa través de role-plays: haremos triangulaciones, admiraremos los diagramas de Voronoi, descubriremos el punto de Fermat construyéndolo con hilos y haciendo pompas de jabón, estudiaremos el vuelo de un halcón y trazaremos curvas de persecución, construiremos un árbol pitagórico, montaremos un icosaedro gigante, nos convertiremos en puntos del plano y veremos si cumplimos condiciones albegraicas sobre nuestras coordenadas , disfrutaremos de paseos aleatorios... e incluso haremos volar torso de humo.

Sesión 2. Curvas y superficies

Fecha: sábado 18 de enero, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Bernat Ancochea (Asociación Catalana de Geogebra).

Idioma: catalán.

Oímos hablar de conceptos que a menudo generan cierta confusión: ecuaciones, funciones, curvas, parámetros... ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Saben que son herramientas que nos permiten construir superficies de todo tipo? ¿Conoce las superficies regladas y las superficies de revolución? ¡Están por todas partes y seguramente no lo sabía! Con la versión 3D del programa GeoGebra veremos cómo podemos generar superficies, modificarlas utilizando parámetros y verlas en realidad aumentada. No se necesitan conocimientos del programa. Sólo tendrá que descargarlo para que lo utilice en otra sesión.

Sesión 3. Geometrías no euclidianas

Fecha: sábado 25 de febrero, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Pablo Nicolás (UPC).

Idioma: catalán.

En esta sesión introduciremos la geometría no euclídea como ejemplo paradigmático de la evolución del pensamiento matemático. Empezaremos revisando la geometría euclídea y sus axiomas, para entender qué cambia cuando exploramos otros sistemas geométricos. Conoceremos la geometría de Lobatchevsky y modelos visuales como el disco de Poincaré, y descubriremos otras geometrías exóticas para ilustrar conceptos como la métrica. Por último, trabajaremos con ejercicios prácticos para verificar teoremas y explorar aplicaciones sorprendentes de estas geometrías.

Sesión 4. Las formas que nos rodean

Fecha: sábado 1 de febrero, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Ciencias (UAB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Natalia Castellana (UAB).

Idioma: catalán.

La topología es una de las ramas clásicas más jóvenes de las matemáticas. Brevemente, es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades que son inherentes a la forma de los objetos y que, más allá de su rigidez, no se alteran cuando los deformamos. Para acercarnos por primera vez a esta parte de las matemáticas, nos preguntamos: ¿para qué problemas llamarías a un topólogo?

Haremos juntos un pequeño “tour” por problemas diversos (históricos e inventados) en los que veremos cómo este tipo de propiedades juegan un papel fundamental en su resolución. Al mismo tiempo descubriremos a algunos protagonistas célebres de la historia de las matemáticas.

Sesión 5. Los primeros del día a día

Fecha: sábado 8 de febrer, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Ciencias (UAB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Marc Masdéu (UAB).

Idioma: catalán.

En esta charla exploraremos algunas aplicaciones de la teoría de números que, quizás sin saberlo, utilizamos a diario. Empezaremos repasando la aritmética modular y algunas aplicaciones en la criptografía. Explicaremos la dificultad del problema de la factorización, y que es y por qué sirven los test de primalidad.

Sesión 6. Teoría de códigos

Fecha: sábado 22 de febrero, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Maria Bras (UPC) y Oriol Farràs (URV).

Idioma: catalán.

Nos adentraremos en las matemáticas que se aplican en las comunicaciones digitales, centrándonos en la teoría de códigos y la criptografía.

La teoría de códigos trata el diseño y la implementación de códigos con buena capacidad de corregir errores de transmisión o almacenamiento, pero que supongan un bajo coste computacional y de envío, así como sus algoritmos correctores. En este taller explicaremos las matemáticas detrás de la teoría de códigos y experimentaremos con algunos ejemplos de detección y corrección de errores. También veremos algunas aplicaciones en la esteganografía o en el almacenamiento distribuido.

En el caso de la criptografía, el objetivo es garantizar comunicaciones seguras en presencia de adversarios. En el taller de criptografía presentaremos estructuras matemáticas que son comunes a la criptografía y experimentaremos con algunos criptosistemas actuales. Veremos algunos de los cambios que nos esperan para evitar ataques cuánticos y también veremos el funcionamiento básico de las blockchains.

Sesión 7. Tecnología Blockchain y Criptomonedas

Fecha: sábado 1 de marzo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Ciencias (UAB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Jordi Herrera.

Idioma: catalán.

La tecnología blockchain es un conjunto de técnicas que permiten mantener un registro descentralizado de forma segura. Su desarrollo y principal son las criptomonedas. La seguridad que proporciona la tecnología blockchain se basa en las herramientas criptográficas que utiliza, principalmente firmas digitales y funciones hash criptográficamente seguras.

En esta sesión, repasaremos los conceptos matemáticos básicos de la criptografía de clave pública, hablando de problemas matemáticos difíciles como la factorización o el logaritmo discreto, y definiendo qué es una función hash criptográficamente segura.

Posteriormente, nos adentraremos en las curvas elípticas, que son uno de los elementos utilizados en la tecnología blockchain. Veremos cómo se definen, qué propiedades tienen y cómo se utilizan para realizar firmas digitales.

Por último, explicaremos cómo las firmas digitales y las funciones hash se combinan, junto con otros mecanismos, para poder crear una criptomoneda descentralizada y segura, como por ejemplo, el Bitcoin.

Sesión 8. Teoría de juegos: matemáticas aplicadas al comportamiento humano

Fecha: sábado 8 de marzo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Antonio Magaña.

Idioma: catalán.

Explicar qué es la teoría de juegos y los tipos de problemas que estudia. Hablaremos de los juegos no cooperativos --situaciones de competencia en las que el beneficio que obtiene un participante produce un perjuicio a los demás-- y de los juegos cooperativos --situaciones en las que los participantes pueden llegar a acuerdos para actuar de forma coordinada y obtener así más utilidad que la que obtendrían actuando individualmente.

Veremos ejemplos de los distintos tipos de juegos y también de las soluciones que propone la Teoría de Juegos. De hecho, nos vamos a centrar en dos conceptos de solución: el equilibrio de Nash para el caso de los juegos no cooperativos y el valor de Shapley para los juegos cooperativos. También veremos una interesante aplicación de los juegos cooperativos: calcular el poder de cada participante en un organismo que toma decisiones mediante votaciones (como un Parlamento, por ejemplo).

Sesión 9. IDM 2024: jugando con las matemáticas

Fecha: sábado 15 de marzo, 2025.

Horario: de 10h a 14h y talleres por la tarde.

Lugar: Universidad de Barcelona.

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Societat Catalana de Matemàtiques.

Idioma: catalán.

Sesión con motivo del Día Internacional de las Matemáticas.

Sesión 10. Grafos, amigos y conocidos

Fecha: sábado 22 de marzo, 2025.

Horario: de 10 ha 14 h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Mónica Reyes (UdL).

Idioma: catalán.

Un grafo no es más que una red. La teoría de grafos es una rama fascinante de las matemáticas que se aplica a todo tipo de redes, desde las informáticas, las redes sociales, neurológicas, de transporte, eléctricas, etc. rodeados de redes!

Sesión 9. IDM 2024: jugando con las matemáticas

Fecha: sábado 15 de marzo, 2025.

Horario: de 10h a 14h y talleres por la tarde.

Lugar: Universidad de Barcelona.

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Societat Catalana de Matemàtiques.

Idioma: catalán.

Sesión con motivo del Día Internacional de las Matemáticas.

Sesión 11. El azar como herramienta para tomar decisiones

Fecha: sábado 29 de marzo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Ciencias (UAB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Alejandra Cabaña (UAB).

Idioma: catalán.

¿Has dudado alguna vez qué serie ver? ¿O dónde irte de vacaciones? En algún momento, puede que simplemente hayas lanzado una moneda para que ella decida por ti. En realidad, hace tiempo que sabemos que el resultado de lanzar una moneda no es realmente un asunto de suerte. El azar en el lanzamiento está introducido por la poca traza de los humanos que la lanzan: el resultado es aleatorio porque quienes la lanzan no lo hacen dos veces por igual. Pequeñas diferencias en el ángulo de lanzamiento, o la fuerza con la que es lanzada hacen que cada lanzamiento sea diferente, y por tanto el resultado, impredecible. Hoy en día tenemos máquinas que pueden lanzar monedas para que el resultado sea siempre el mismo, y otras máquinas que produzcan decisiones aleatorias…

Pero quedémonos con el modelo de los humanos imperfectos, y exploramos resultados importantes de la probabilidad y la estadística que se basan en sucesiones de caras y cruces, por ejemplo,

* Los experimentos completamente aleatorizados: un experimento compara el efecto de un nuevo medicamento (droga) contra un medicamento estándar. Los pacientes deben asignarse al grupo que recibe el nuevo o antiguo aleatorizante. Estudiaremos cómo decidir si las posibles diferencias entre ambos se deben puramente al azar, o si existe un efecto diferente entre ambos.

* Si aceptamos que quien lanza la moneda lo hace de forma totalmente aleatoria, la proporción de caras y cruces en una sucesión larga de lanzamientos debería acercarse a 1/2. ¿Cómo comprobar si esto es cierto? ¿O podremos asegurar el lanzador tiene tendencia a obtener sistemáticamente más caras que crees?

*¿Perciben las mujeres (de media) un mejor salario que los hombres en un mismo trabajo?

Todos estos problemas pueden resolverse a partir del estudio del comportamiento de sucesiones de caras y cruces. Esto y quizás cosas un poco más sofisticadas haremos a lo largo de la charla y el taller.

Sesión 12. La teoría de conjuntos: los fundamentos de la matemática y la matemática del infinito

Fecha: sábado 5 de abril, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: por determinar.

Coordinación de la sesión: Albert Granados y David Virgili.

Sesión a cargo de: por determinar.

Idioma: catalán.

Los objetos matemáticos, números, figuras geométricas, estructuras algebraicas, espacios topológicos, etc. ¿Qué son, cómo sabemos que existen y cómo es que podemos estudiar sus propiedades? Y los teoremas que demostramos, ¿cómo sabemos que son verdaderos? ¿Cuáles son los correctos razonamientos matemáticos? La respuesta a estas preguntas está en la lógica y la teoría de conjuntos. La lógica matemática nos dice cuáles son los razonamientos y demostraciones correctas, y qué podemos demostrar y que no a partir de los axiomas que tenemos. Los teoremas de incompleción de Gödel nos dicen que toda teoría matemática consistente y que contiene la aritmética elemental es incompleta, que significa que existen verdades matemáticas que no podemos demostrar a partir de los axiomas de la teoría. Así pues, la matemática es siempre incompleta, y siempre hay enunciados matemáticos que para saber si son verdaderos o no, se necesitan nuevos axiomas.

La teoría de conjuntos nos dice cuáles son los axiomas de la matemática y qué podemos y qué no podemos demostrar a partir de ellos. Muchas preguntas fundamentales, como la Hipótesis del Continuo de Cantor, que dice que todo conjunto infinito de puntos de la recta real es o numerable (se puede contar) o tiene el mismo número de puntos que toda la recta, no se pueden decidir con los axiomas usuales: la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección (o ZFC). Es necesario extender la teoría con nuevos axiomas si queremos dar respuesta a estas y otras muchas preguntas. ¿Pero de dónde salen los nuevos axiomas? ¿Cómo encontrarlos? ¿Y cómo podemos saber si son verdaderos? Los axiomas más importantes que van más allá de ZFC son los “axiomas de grandes cardinales” que nos dicen que existen números cardinales infinitos muy grandes, tan grandes que su existencia no puede demostrarse a partir de los axiomas de ZFC.
El infinito es, pues, aquí el concepto matemático fundamental, y veremos con ejemplos cómo el infinito matemático es a la vez fascinante y paradójico.

Sesión 11. Fractales colineales

Fecha: sábado 26 de abril, 2025

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Universidad de Barcelona (UB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados y David Virgili.

Sesión a cargo de: Bernat Espigulé (Càtedra Lluís A. Santaló d'Aplicacions de la Matemàtica, UdG).

Idioma: catalán.

Iniciaremos la sesión con una explicación accesible para todos los públicos sobre mi investigación en fractales colineales. Estas estructuras geométricas se generan a partir de la iteración de n funciones lineales. Un aspecto especialmente interesante es que detrás del conjunto de conectividad de los fractales colineales de n piezas se esconde el conjunto de raíces de todos los polinomios con coeficientes enteros comprendidos entre -n+1 y n-1.

Estas raíces desempeñan un papel fundamental en matemáticas, abarcando desde la teoría de números hasta aplicaciones en computación y criptografía. Durante la charla, los alumnos descubrirán cómo estos conceptos abstractos se conectan entre ellos y cómo pueden utilizar herramientas computacionales para explorarlos en profundidad.

Actividad Práctica: Exploración Computacional

Después de la charla, realizaremos una actividad práctica utilizando el Wolfram Cloud, una potente y accesible herramienta para exploraciones computacionales. Los alumnos sólo necesitarán registrarse gratuitamente a través del siguiente enlace: https://www.wolframcloud.com/.

Pasos de la actividad:

1.    Registro: Cada alumno se registrará gratuitamente en el Wolfram Cloud.

2.    Acceso al Notebook: Desde mi cuenta, compartiré un “notebook” que contendrá ejemplos y una serie de exploraciones computacionales diseñadas para profundizar en el tema de los fractales colineales.

3.    Exploración Dinámica: Los alumnos podrán interactuar con los ejemplos y realizar sus propias exploraciones, descubriendo las propiedades de los fractales y las raíces de los polinomios asociados.

4.    Discusión y Reflexión: Finalizaremos con una sesión de discusión donde los alumnos podrán compartir sus descubrimientos y reflexionar sobre las implicaciones de los conceptos aprendidos.

Para los futuros investigadores, esta sesión representa una oportunidad única para empezar a explorar el fascinante mundo de los fractales colineales y su profunda conexión con las raíces de los polinomios de coeficientes enteros. Los polinomios con coeficientes enteros son objeto fundamental en matemáticas. Las raíces de estos polinomios a menudo exhiben patrones fascinantes e intrincados en el plano complejo. Esta sesión establecerá un puente entre el álgebra y la geometría fractal. A pesar de los avances ya logrados, todavía quedan muchas propiedades por descubrir, ofreciendo un terreno rico para nuevas investigaciones. Os animo a adentrarte en este campo apasionante.

Sesión 14. Sistemas dinámicos

Fecha: sábado 10 de mayo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Universidad de Barcelona (UB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados y David Virgili.

Sesión a cargo de: Arturo Viero (UB).

Idioma: catalán.

Sesión 15. ¿Cómo y por qué se puede viajar al espacio?

Fecha: sábado 17 de mayo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Universidad de Barcelona (UB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Álvaro Fernández (UB).

Idioma: catalán.

La mecánica celeste intenta describir los movimientos de los cuerpos celestes (planetas, asteroides, satélites naturales o artificiales,..) bajo la acción de fuerzas gravitatorias mutuas. Más allá de su formalismo matemático, hoy en día las ideas básicas de la mecánica celeste se aplican a la descripción de las reacciones químicas, del movimiento de partículas atómicas, a los modelos en climatología y, evidentemente, a la astrodinámica, que permite los viajes espaciales. Introduciremos los conceptos básicos que permiten describir el movimiento de los planetas y explicaremos sus consecuencias en el movimiento planetario. Trabajaremos algunos conceptos elementales relacionados con el diseño de trayectorias en misiones espaciales. Como aplicación comentaremos algunos aspectos de la misión Cassini-Huygens, cuyo objetivo principal es recoger información de Saturno, sus anillos y lunas.

Sesión 16. Matemáticas para entender el cerebro

Fecha: sábado 24 de mayo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Universidad de Barcelona (UB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Gemma Huguet Casades (UPC).

Idioma: catalán.

¿Qué ocurre en nuestro cerebro cuando la información que nos llega a través de nuestros sentidos es ambigua? ¿Y cómo tomamos decisiones en este contexto?

En estas situaciones, entran en juego varios grupos de neuronas del cerebro, especializados en distintos aspectos de la percepción y la toma de decisiones. Las matemáticas pueden ayudar a entender los mecanismos neuronales que intervienen en la generación de ciertos patrones de actividad en estos grupos y comprobar cómo se correlacionan con nuestras percepciones y decisiones. Revisaremos algunos de los modelos más clásicos y estudiaremos su dinámica en una sencilla tarea de toma de decisiones.

Sesión 17. Las matemáticas del sonido

Fecha: sábado 31 de mayo, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Universidad de Barcelona (UB).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Albert Granados (profesor de secundaria).

Idioma: catalán.

Las ondas han sido una de las principales fuentes del desarrollador matemático. Las técnicas que se han desarrollado a lo largo de los siglos, empezando por las series de Fourier en el siglo XVII, han sido seguramente las más utilizadas y transversales de la historia. Aplicaciones como la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (transmisión del calor, ondas mecánicas, previsión del tiempo etc), telecomunicaciones, la compresión de imágenes, animación por ordenador, tratamiento de datos son algunos que, lejos de quedar obsoletas, técnicas desarrolladas por Fourier son hoy más vivas que nunca. Sin ir más lejos, nuestros teléfonos utilizan constantemente algoritmos basados en la transformada de Fourier cada vez que recibimos uno cualquier dato.

En esta sesión veremos cómo a partir de cuestiones abstractas como la distancia entre funciones, el producto escalar de funciones y bases de espacios de funciones podemos crear herramientas intuitivas que nos permitan analizar sonidos y señales.

¡Será conveniente que traigan auriculares!

Sesión 18. Sesión especial en el CRM. Nolinealidad y matemáticas del caos

Fecha: sábado 7 de junio, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Centre de Recerca Matemàtica (CRM).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Tim Myers (CRM).

Idioma: catalán.

En esta charla realizaremos un viaje a través de los fenómenos no lineales, las fractales, y el caos y veremos cómo los podemos estudiar con las matemáticas. Hablaremos de ejemplos reales donde podemos identificar estos fenómenos y podrá ver con sus propios ojos un sistema caótico gracias a un péndulo doble fabricado con materiales reciclados. Concretamente con las patas de una barbacoa y algunas prendas de una impresora. Por último, haremos una competición para identificar a las dos personas más caóticas de la sala, que se llevarán un trofeo único y personalizado hacia su casa.

Sesión 19. Las matemáticas de Pixar

Fecha: sábado 14 junio, 2025.

Horario: de 10h a 14h.

Lugar: Facultad de Matemáticas y Estadística (UPC).

Coordinación de la sesión: Albert Granados.

Sesión a cargo de: Toni Susin (UPC).

Idioma: catalán.

El mundo de la animación por ordenador se revalorizó con la llegada de Pixar. Sus películas crearon personajes que todos conocemos y forman ya parte de la historia del cine. Desde el punto de vista tecnológico, ha supuesto también un salto adelante en lo que se refiere a la simulación de muchos aspectos físicos y matemáticos que se han introducido por sus personajes. En la película Monsters Inc (2001), la simulación de la ropa de Boo, la niña protagonista y el movimiento de los pelos de Sulley, el monstruo azul, son el primer ejemplo de los modelos de deformación aplicados de forma integrada en una producción de animación.

En la charla se explican las matemáticas vinculadas a todos estos efectos y cómo algunos conceptos físicos y geométricos, que ya se ven en el bachillerato, forman parte de las herramientas del mundo actual de la animación por ordenador.