Matemàtiques

Data: dissabte 11 de gener, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: FME (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Anton Aubanell, Jordi Font, Sergi Muria, Francesc Massich, Manel Martínez (Grup Cúbic).

Idioma: català.

Aquesta sessió ens convidarà a fer un recorregut per diverses experiències matemàtiques que tenen en comú el fet de convidar a l'acció a partir de materials manipulables o a través de role-plays: farem triangulacions, admirarem els diagrames de Voronoi, descobrirem el punt de Fermat construint-lo amb fils i fent bombolles de sabó, estudiarem el vol d'un falcó i traçarem corbes de persecució, construirem un arbre pitagòric, muntarem un icosaedre gegant, ens convertirem en punts del pla i veurem si complim condicions albegraiques sobre les nostres coordenades, gaudirem de passejades aleatòries... i, fins i tot, farem volar tors de fum.

Sessió 2. Corbes i superfícies

Data: dissabte 18 de gener, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Bernat Ancochea (Associació Catalana de Geogebra).

Idioma: català.

Sentim a parlar de conceptes que sovint generen certa confusió: equacions, funcions, corbes, paràmetres... Quina relació hi ha entre ells? Sabeu que són eines que ens permeten construir superfícies de tot tipus? Coneixeu les superfícies reglades i les superfícies de revolució? Estan per tot arreu i segurament no ho sabíeu! Amb la versió 3D del programa GeoGebra veurem com podem generar superfícies, modificar-les fent servir paràmetres i veure-les en realitat augmentada. No calen coneixements del programa. Només l'haureu de descarregar perquè el fareu servir en una altra sessió.

Sessió 3. Geometries no euclidianes

Data: dissabte 25 de gener, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Pablo Nicolás (UPC).

Idioma: català.

En aquesta sessió introduirem la geometria no euclidiana com a exemple paradigmàtic de l'evolució del pensament matemàtic. Començarem revisant la geometria euclidiana i els seus axiomes, per entendre què canvia quan explorem altres sistemes geomètrics. Coneixerem la geometria de Lobatchevsky i models visuals com el disc de Poincaré, i descobrirem altres geometries exòtiques per il·lustrar conceptes com la mètrica. Finalment, treballarem amb exercicis pràctics per verificar teoremes i explorar aplicacions sorprenents d'aquestes geometries.

Sessió 4. Les formes que ens envolten

Data: dissabte 1 de febrer, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències (UAB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Natàlia Castellana (UAB).

Idioma: català.

La topologia és una de les branques clàssiques més joves de les matemàtiques. Breument, és la part de la matemàtica que estudia les propietats que són inherents a la forma dels objectes i que, més enllà de la seva rigidesa, no s’alteren quan els deformem. Per apropar-nos per primer cop a aquesta part de les matemàtiques ens preguntem: per a quins problemes trucaries a un topòleg?

Farem junts un petit “tour” per problemes diversos (històrics i inventats) en els quals veurem com aquest tipus de propietats juguen un paper fonamental en la seva resolució. Al mateix temps descobrirem alguns protagonistes cèlebres de la història de les matemàtiques. Penjarem quadres, farem trenes i nusos: embolica que fa fort!

Sessió 5. Els primers del dia a dia

Data: dissabte 8 de febrer, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències (UAB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados i David Virgili.

Sessió a càrrec de: Marc Masdéu (UAB).

Idioma: català.

En aquesta xerrada explorarem algunes aplicacions de la teoria de nombres que, potser sense saber-ho, fem servir a diari. Començarem repassant l'aritmètica modular i algunes aplicacions a la criptografia. Explicarem la dificultat del problema de la factorització, i que és i per què serveixen els tests de primalitat.

Sessió 6. Teoria de codis

Data: dissabte 22 de febrer, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Maria Bras (UPC) i Oriol Farràs (URV).

Idioma: català.

En aquesta sessió ens endinsarem en les matemàtiques que s'apliquen a les comunicacions digitals, centrant-nos en la teoria de codis i la criptografia.

La teoria de codis tracta el disseny i la implementació de codis amb bona capacitat de corregir errors de transmissió o emmagatzematge, però que suposin un baix cost computacional i d’enviament, així com els seus algoritmes correctors. En aquest taller explicarem les matemàtiques que hi ha al darrere de la teoria de codis i experimentarem amb alguns exemples de detecció i correcció d'errors. També veurem algunes aplicacions a l'esteganografia o a l'emmagatzematge distribuït.

En el cas de la criptografia, l'objectiu és garantir comunicacions segures en presència d'adversaris. En el taller de criptografia presentarem estructures matemàtiques que son comuns a la criptografia i experimentarem amb alguns criptosistemes actuals. Veurem alguns dels canvis que ens esperen per evitar atacs quàntics i també veurem el funcionament bàsic de les blockchains.

Sessió 7. Tecnologia Blockchain i Criptomonedes

Data: dissabte 1 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències (UAB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Jordi Herrera.

Idioma: català.

La tecnologia blockchain és un conjunt de tècniques que permeten mantenir un registre descentralitzat de forma segura. El seu desenvolupament i principal us són les criptomonedes. La seguretat que proporciona la tecnologia blockchain es basa en les eines criptogràfiques que fa servir, principalment signatures digitals i funcions hash criptogràficament segures.

En aquesta sessió, repassarem els conceptes matemàtics bàsics de la criptografia de clau pública, parlant de problemes matemàtics difícils com ara la factorització o el logaritme discret, i definint què és una funció hash criptogràficament segura.

Posteriorment, ens endinsarem en les corbes el·líptiques, que són un dels elements utilitzats en la tecnologia blockchain. Veurem com es defineixen, quines propietats tenen i com s'utilitzen per realitzar signatures digitals.

Finalment, explicarem com les signatures digitals i les funcions hash es combinen, juntament amb altres mecanismes, per poder crear una criptomoneda descentralitzada i segura, com per exemple, el Bitcoin.

Sessió 8. Teoria de Jocs: matemàtiques aplicades al comportament humà

Data: dissabte 8 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Antonio Magaña.

Idioma: català.

Explicar què és la Teoria de Jocs i els tipus de problemes que estudia. Parlarem dels jocs no cooperatius --situacions de competència en les quals el benefici que obté un participant produeix un perjudici als altres-- i dels jocs cooperatius --situacions en les quals els participants poden arribar a acords per actuar de manera coordinada i obtenir així més utilitat que la que obtindrien actuant individualment.

Veurem exemples dels diferents tipus de jocs i també de les solucions que proposa la Teoria de Jocs. De fet, ens centrarem en dos conceptes de solució: l'equilibri de Nash per al cas dels jocs no cooperatius i el valor de Shapley per als jocs cooperatius. També veurem una aplicació interessant dels jocs cooperatius: calcular el poder de cada participant en un organisme que pren decisions mitjançant votacions (com un Parlament, per exemple).

Sessió 9. IDM 2024: jugant amb les matemàtiques

Data: dissabte 15 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h i tallers per la tarda.

Lloc: Universitat de Barcelona.

Coordinació de la sessió: Albert Granados i David Virgili.

Sessió a càrrec de: Societat Catalana de Matemàtiques.

Idioma: català.

Sessió en motiu del Dia Internacional de les Matemàtiques.

Sessió 10. Grafs, amics i coneguts

Data: dissabte 22 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Mónica Reyes (UdL).

Idioma: català.

Un graf no és res més que una xarxa. La teoria de grafs és una branca fascinant de les matemàtiques que s'aplica a tot tipus de xarxes, des de les informàtiques, les xarxes socials, neurològiques, de transport, elèctriques, etc. En aquesta sessió, ens endinsarem en el món dels grafs, veurem quins tipus hi ha, com els podem representar, quines propietats tenen i descobrirem algunes de les seves aplicacions pràctiques. Estem envoltats de xarxes!

Sessió 9. IDM 2024: jugant amb les matemàtiques

Data: dissabte 15 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h i tallers per la tarda.

Lloc: Universitat de Barcelona.

Coordinació de la sessió: Albert Granados i David Virgili.

Sessió a càrrec de: Societat Catalana de Matemàtiques.

Idioma: català.

Sessió en motiu del Dia Internacional de les Matemàtiques.

Sessió 11. L’atzar com a eina per prendre decisions

Data: dissabte 29 de març, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Ciències (UAB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Alejandra Cabaña (UAB).

Idioma: català.

Has dubtat mai quina sèrie veure? O on anar-te'n de vacances? En algun moment, potser simplement hagis llançat una moneda perquè ella decideixi per tu. En realitat fa temps que sabem que el resultat de llançar una moneda no és realment un assumpte de sort. L'atzar en el llançament està introduït per la poca traça dels humans que la llancen: el resultat és aleatori perquè els qui la llancen no ho fan dues vegades de la mateixa manera. Petites diferències en l'angle de llançament, o la força amb què és llançada fan que cada llançament sigui diferent, i per tant el resultat, impredictible. Avui dia tenim màquines que poden llançar monedes perquè el resultat sigui sempre el mateix, i altres màquines que produeixin decisions aleatòries…

Però quedem-nos amb el model dels humans imperfectes, i explorem resultats importants de la probabilitat i l'estadística que es basen en successions de cares i creus, per exemple,

* Els experiments completament aleatoritzats: un experiment compara l'efecte d'un nou medicament (droga) contra un medicament estàndard. Els pacients han d'assignar-se al grup que rep el nou o l’ antic aleatoritzant. Estudiarem com decidir si les possibles diferències entre tots dos es deuen purament a l'atzar, o si hi ha un efecte diferent entre tots dos.

* Si acceptem que qui llança la moneda ho fa de manera totalment aleatòria, la proporció de cares i creus en una successió llarga de llançaments s'hauria d'acostar a 1/2. Com podem comprovar si això és cert? O podrem assegurar el llançador té tendència a obtenir sistemàticament més cares que creus?

* Perceben les dones (de mitjana) un millor salari que els homes en una mateixa feina?

Tots aquests problemes es poden resoldre a partir de l'estudi del comportament de successions de cares i creus.  Això i potser coses una mica més sofisticades farem al llarg de la xerrada i el taller.

Sessió 12. La teoria de conjunts: els fonaments de la matemàtica i la matemàtica de l’infinit

Data: dissabte 5 d'abril, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: per determinar.

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: per determinar.

Idioma: català.

Els objectes matemàtics, els nombres, les figures geomètriques, les estructures algebraiques, els espais topològics, etc. Què són, com sabem que existeixen i com és que podem estudiar les seves propietats? I els teoremes que demostrem, com sabem que són vertaders? Quin són els raonaments matemàtics correctes? La resposta a aquestes preguntes es troba en la lògica i la teoria de conjunts. La lògica matemàtica ens diu quins són els raonaments i les demostracions correctes, i què podem demostrar i que no a partir dels axiomes que tenim. Els teoremes d’incompletesa de Gödel ens diuen que tota teoria matemàtica consistent i que conté l’aritmètica elemental és incompleta, que vol dir que hi han veritats matemàtiques que no podem demostrar a partir dels axiomes de la teoria. Així doncs, la matemàtica és sempre incompleta, i sempre hi han enunciats matemàtics que per saber si són vertaders o no, calen nous axiomes.

La teoria de conjunts ens diu quins són els axiomes de la matemàtica i què podem i què no podem demostrar a partir d’ells. Moltes preguntes fonamentals, com ara la Hipòtesi del Continu de Cantor, que diu que tot conjunt infinit de punts de la recta real és o bé numerable (es pot

comptar) o bé té el mateix nombre de punts que tota la recta, no es poden decidir amb els axiomes usuals: la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel amb l’Axioma d’Elecció (o ZFC). Cal doncs estendre la teoria amb nous axiomes si volem donar resposta a aquestes i moltes altres preguntes. Però d’on surten els nous axiomes? Com els podem trobar? I com podem saber si són vertaders? Els axiomes més importants que van més enllà de ZFC són els “axiomes de grans cardinals” que ens diuen que existeixen nombres cardinals infinits molt grans, tan grans que la seva existència no es pot demostrar a partir dels axiomes de ZFC.

L’infinit és doncs aquí el concepte matemàtic fonamental, i veurem amb exemples com l’infinit matemàtic és alhora fascinant i paradoxal.

Sessió 13. Fractals colineals

Data: dissabte 26 d'abril, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Universitat de Barcelona (UB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Bernat Espigulé (Càtedra Lluís A. Santaló d’Aplicacions de la Matemàtica, UdG).

Idioma: català.

Iniciarem la sessió amb una explicació accessible per a tots els públics sobre la meva recerca en fractals col·lineals. Aquestes estructures geomètriques es generen a partir de la iteració de n funcions lineals. Un aspecte especialment interessant és que darrere del conjunt de connectivitat dels fractals col·lineals de n peces s’amaga el conjunt d’arrels de tots els polinomis amb coeficients enters compresos entre -n+1 i n-1.

Aquestes arrels tenen un paper fonamental en matemàtiques, abastant des de la teoria de nombres fins a aplicacions en computació i criptografia. Durant la xerrada, els alumnes descobriran com aquests conceptes abstractes es connecten entre ells i com poden utilitzar eines computacionals per explorar-los en profunditat.

Activitat Pràctica: Exploració Computacional

Després de la xerrada, realitzarem una activitat pràctica utilitzant el Wolfram Cloud, una eina potent i accessible per a exploracions computacionals. Els alumnes només necessitaran registrar-se gratuïtament a través del següent enllaç: https://www.wolframcloud.com/.

Passos de l’activitat:

      1.    Registre: Cada alumne es registrarà gratuïtament al Wolfram Cloud.

      2.    Accés al Notebook: Des de la meva compte, compartiré un “notebook” que contindrà exemples i una sèrie d’exploracions computacionals dissenyades per aprofundir en el tema dels fractals col·lineals.

      3.    Exploració Dinàmica: Els alumnes podran interactuar amb els exemples i realitzar les seves pròpies exploracions, descobrint les propietats dels fractals i les arrels dels polinomis associats.

      4.    Discussió i Reflexió: Finalitzarem amb una sessió de discussió on els alumnes podran compartir les seves descobertes i reflexionar sobre les implicacions dels conceptes apresos.

Per als futurs investigadors, aquesta sessió representa una oportunitat única per començar a explorar el fascinant món dels fractals col·lineals i la seva profunda connexió amb les arrels dels polinomis de coeficients enters. Els polinomis amb coeficients enters són objectes fonamentals en matemàtiques. Les arrels d’aquests polinomis sovint exhibeixen patrons fascinants i intricats en el pla complex. Aquesta sessió establirà un pont entre l’àlgebra i la geometria fractal. Tot i els avenços ja assolits, encara queden moltes propietats per descobrir, oferint un terreny ric per a noves investigacions. Us animo a endinsar-vos en aquest camp apassionant..

Sessió 14. Sistemes dinàmics

Data: dissabte 10 de maig, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Universitat de Barcelona (UB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Arturo Vieiro (UB).

Idioma: català.

Sessió 15. Com i per què es pot viatjar a l'espai?

Data: dissabte 17 de maig, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Universitat de Barcelona (UB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Álvaro Fernández (UB).

Idioma: català.

La mecànica celeste intenta descriure els moviments dels cossos celestes (planetes, asteroides, satèl·lits naturals o artificials,..) sota l'acció de forces gravitatòries mútues. Més enllà del seu formalisme matemàtic, avui en dia les idees bàsiques de la mecànica celeste s'apliquen a la descripció de les reaccions químiques, del moviment de partícules atòmiques, als models en climatologia i, evidentment, a l'astrodinàmica, que permet elsviatges espacials. Introduirem els conceptes bàsics que permeten descriure el moviment dels planetes i explicarem les seves conseqüències en el moviment planetari. Treballarem alguns conceptes elementals relacionats amb el disseny de trajectòries en missions espacials. Com a aplicació comentarem alguns aspectes de la missió Cassini-Huygens, que té com a objectiu principal recollir informació de Saturn, els seus anells i llunes.

Sessió 16. Matemàtiques per entendre el cervell

Data: dissabte 24 de maig, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Gemma Huguet Casades (UPC).

Idioma: català.

Què passa en el nostre cervell quan la informació que ens arriba a través dels nostres sentits és ambigua? I com prenem decicions en aquest context?

En aquestes situacions, entren en joc diversos grups de neurones del cervell, especialitzats en diferents aspectes de la percepció i la presa de decisions. Les matemàtiques poden ajudar a entendre els mecanismes neuronals que intervenen en la generació de certs patrons d'activitat en aquests grups i comprovar com es correlacionen amb les nostres percepcions i decisions. Revisarem alguns dels models més clàssics i estudiarem la seva dinàmica en una tasca senzilla de presa de decisions.

Sessió 17. Les matemàtiques del so

Data: dissabte 31 de maig, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Universitat de Barcelona (UB).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Albert Granados (professor de secundària).

Idioma: català.

Les ones han estat una de les principals fonts del desenvolupant matemàtic. Les tècniques que s'han desenvolupat al llarg dels segles, començant per les sèries de Fourier al segle XVII, han estat segurament les més utilitzades i transversals de la història. Aplicacions com la resolució d'equacions en derivades parcials (transmissió del calor, ones mecàniques, previsió del temps etc), telecomunicacions, la compressió d'imatges, animació per ordinador, tractament de dades en són alguns que, lluny de quedar obsoletes, les tècniques desenvolupades per Fourier són avui en dia més vives que mai. Sense anar més lluny, els nostres telèfons fan servir constantment algorismes basats en  la transformada de Fourier cada vegada que rebem un qualsevol dada.

En aquesta sessió veurem com a partir de qüestions abstractes com ara la distància entre funcions, el producte escalar de funcions i bases d’espais de funcions podem crear eines intuïtives que ens permeten analitzar sons i senyals.

Seria convenient que portéssiu auriculars!

Sessió 18. Nolinealitat: matemàtiques i Caos

Data: dissabte 7 de juny, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: CRM (Universitat Autònoma de Barcelona).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Tim Myers (CRM).

Idioma: català.

En aquesta xerrada farem un viatge a través dels fenòmens no lineals, les fractals, i el caos i veurem com els podem estudiar amb les matemàtiques. Parlarem d’exemples reals on podem identificar aquests fenòmens i podreu veure amb els vostres propis ulls un sistema caòtic gràcies a un pèndol doble fabricat amb materials reciclats. Concretament amb les potes d'una barbacoa i algunes peces d'una impressora. Finalment, farem una competició per a identificar les dues persones més caòtiques de la sala, que s’enduran un trofeu únic i personalitzat cap a casa seva.

Sessió 19. Les matemàtiques de Pixar

Data: dissabte 7 de juny, 2025.

Horari: de 10h a 14h.

Lloc: Facultat de Matemàtiques i Estadística (UPC).

Coordinació de la sessió: Albert Granados.

Sessió a càrrec de: Toni Susín (UPC).

Idioma: català.

El mon de l'animació per ordinador es va revaloritzar amb l'arribada de Pixar. Les seves pel·lícules van crear personatges que tots coneixem i ja formen part de la història del cinema. Des del punt de vista tecnològic, ha suposat també un salt endavant pel que fa a la simulació de molts aspectes físics i matemàtics que s'han introduït pels seus personatges. A la pel·lícula Monsters Inc (2001), la simulació de la roba de Boo, la nena protagonista i el moviment dels pèls de Sulley, el monstre blau, són el primer exemple dels models de deformació aplicats de forma integrada en una producció d'animació. 

En la xerrada s'expliquen les matemàtiques vinculades a tots aquests efectes i com alguns conceptes físics i geomètrics, que ja es veuen en el batxillerat, formen part de les eines del mon actual de l'animació per ordinador.